ThanhLe0125/e5-math-ebd

SentenceTransformer based on intfloat/multilingual-e5-base

This is a sentence-transformers model finetuned from intfloat/multilingual-e5-base. It maps sentences & paragraphs to a 768-dimensional dense vector space and can be used for semantic textual similarity, semantic search, paraphrase mining, text classification, clustering, and more.

Model Details

Model Description

• Model Type: Sentence Transformer
• Base model: intfloat/multilingual-e5-base
• Maximum Sequence Length: 256 tokens
• Output Dimensionality: 768 dimensions
• Similarity Function: Cosine Similarity

Model Sources

• Documentation: Sentence Transformers Documentation
• Repository: Sentence Transformers on GitHub
• Hugging Face: Sentence Transformers on Hugging Face

Full Model Architecture

SentenceTransformer(
  (0): Transformer({'max_seq_length': 256, 'do_lower_case': False}) with Transformer model: XLMRobertaModel 
  (1): Pooling({'word_embedding_dimension': 768, 'pooling_mode_cls_token': False, 'pooling_mode_mean_tokens': True, 'pooling_mode_max_tokens': False, 'pooling_mode_mean_sqrt_len_tokens': False, 'pooling_mode_weightedmean_tokens': False, 'pooling_mode_lasttoken': False, 'include_prompt': True})
  (2): Normalize()
)

Usage

Direct Usage (Sentence Transformers)

First install the Sentence Transformers library:

pip install -U sentence-transformers

Then you can load this model and run inference.

from sentence_transformers import SentenceTransformer

# Download from the 🤗 Hub
model = SentenceTransformer("ThanhLe0125/e5-math-ebd")
# Run inference
sentences = [
    'query: Trong định nghĩa điểm cực đại, khoảng (a; b) có vai trò gì?',
    "passage: # Cực trị của hàm số\n\n## Định nghĩa\nCho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ và $x_0 \\in D$.\n\n**Cực đại:** $x_0$ được gọi là điểm cực đại nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \\leq f(x_0)$ với mọi $x \\in (a; b) \\cap D$.\n\n**Cực tiểu:** $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \\geq f(x_0)$ với mọi $x \\in (a; b) \\cap D$.\n\n## Điều kiện cần (Định lý Fermat)\nNếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ và $x_0$ là điểm cực trị thì $f'(x_0) = 0$.\n\n## Điều kiện đủ\n**Dấu của đạo hàm bậc nhất:**\n- Nếu $f'(x) > 0$ trên $(x_0 - h; x_0)$ và $f'(x) < 0$ trên $(x_0; x_0 + h)$ thì $x_0$ là điểm cực đại.\n- Nếu $f'(x) < 0$ trên $(x_0 - h; x_0)$ và $f'(x) > 0$ trên $(x_0; x_0 + h)$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.\n\n**Đạo hàm bậc hai:**\n- Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.\n- Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.",
    'passage: # Các phép toán vectơ trong không gian\n\n## Phép cộng vectơ\n**Quy tắc hình bình hành:** Đặt hai vectơ chung gốc, vectơ tổng là đường chéo hình bình hành.\n\n**Quy tắc tam giác:** $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AC}$\n\n**Tính chất:**\n- Giao hoán: $\\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a}$\n- Kết hợp: $(\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c})$\n- Phần tử trung hòa: $\\vec{a} + \\vec{0} = \\vec{a}$\n\n## Phép trừ vectơ\n$\\vec{a} - \\vec{b} = \\vec{a} + (-\\vec{b})$\n\n**Ý nghĩa:** $\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{CB}$\n\n## Phép nhân vectơ với số thực\nCho vectơ $\\vec{a}$ và số thực $k$:\n- Nếu $k > 0$: $k\\vec{a}$ cùng hướng với $\\vec{a}$, độ lớn $|k\\vec{a}| = k|\\vec{a}|$\n- Nếu $k < 0$: $k\\vec{a}$ ngược hướng với $\\vec{a}$, độ lớn $|k\\vec{a}| = |k||\\vec{a}|$  \n- Nếu $k = 0$: $k\\vec{a} = \\vec{0}$\n\n**Tính chất:**\n- $k(\\vec{a} + \\vec{b}) = k\\vec{a} + k\\vec{b}$\n- $(k + h)\\vec{a} = k\\vec{a} + h\\vec{a}$\n- $(kh)\\vec{a} = k(h\\vec{a})$\n\n## Ví dụ ứng dụng\nCho hình hộp $ABCD.EFGH$. Chứng minh: $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$\n\n**Lời giải:**\n$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BG}$\n$= \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CG}$  \n$= \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$',
]
embeddings = model.encode(sentences)
print(embeddings.shape)
# [3, 768]

# Get the similarity scores for the embeddings
similarities = model.similarity(embeddings, embeddings)
print(similarities.shape)
# [3, 3]

Evaluation

Metrics

Binary Classification

• Dataset: ranking_evaluator
• Evaluated with BinaryClassificationEvaluator

Metric	Value
cosine_accuracy	0.955
cosine_accuracy_threshold	0.3222
cosine_f1	0.9333
cosine_f1_threshold	0.2707
cosine_precision	0.9265
cosine_recall	0.9403
cosine_ap	0.9869
cosine_mcc	0.8994

Training Details

Training Dataset

Unnamed Dataset

• Size: 1,924 training samples
• Columns: sentence_0, sentence_1, and sentence_2
• Approximate statistics based on the first 1000 samples:

  	sentence_0	sentence_1	sentence_2
  type	string	string	string
  details	min: 10 tokens mean: 24.67 tokens max: 56 tokens	min: 228 tokens mean: 254.49 tokens max: 256 tokens	min: 228 tokens mean: 254.24 tokens max: 256 tokens

• Samples:

  sentence_0	sentence_1	sentence_2
  query: Cách tính phương sai khi có các giá trị ngoại lệ trong tập dữ liệu?	passage: # Phương sai và độ lệch chuẩn ## Phương sai (Variance) Định nghĩa: Phương sai là trung bình cộng của bình phương các độ lệch so với số trung bình. Dữ liệu rời rạc: $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ Dữ liệu ghép nhóm: $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i - \bar{x})^2$ Công thức tính nhanh: $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i x_i^2 - \bar{x}^2$ ## Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) $$s = \sqrt{s^2}$$ Ưu điểm: - Cùng đơn vị với dữ liệu gốc - Dễ hiểu và giải thích - Sử dụng tất cả quan sát ## Ý nghĩa thực tế - Phương sai lớn: Dữ liệu phân tán, không đồng đều - Phương sai nhỏ: Dữ liệu tập trung, đồng đều - Độ lệch chuẩn: "Khoảng cách trung bình" từ các quan sát đến trung bình ## Quy tắc 68-95-99.7 Với dữ liệu phân phối gần chuẩn: - 68% dữ liệu nằm trong $[\bar{x} - s; \bar{x} + s]$ - 95% dữ liệu nằm trong $[\bar{x} - 2s; \bar{x} + 2s]$ - 99.7% dữ liệu nằm trong $[\bar{x} - 3s; \bar{x} + 3s]$	passage: # Cấp số nhân ## Định nghĩa Cấp số nhân là dãy số $(u_n)$ mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi $q \neq 0$. $$u_{n+1} = u_n \times q \quad (\forall n \geq 1)$$ Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân. ## Số hạng tổng quát $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$ Hoặc với số hạng bất kỳ: $u_n = u_k \times q^{n-k}$ ## Tính chất cơ bản 1. Tính chất đặc trưng: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (hằng số, $u_n \neq 0$) 2. Số hạng ở giữa: $u_k^2 = u_{k-p} \times u_{k+p}$ với $p > 0$ 3. Ba số hạng liên tiếp: $a, b, c$ tạo thành CSN ⇔ $b^2 = ac$ (với $a, c$ cùng dấu) ## Ví dụ Ví dụ 1: Dãy số $3, 6, 12, 24, 48, ...$ - Số hạng đầu: $u_1 = 3$ - Công bội: $q = \frac{6}{3} = 2$ - Số hạng tổng quát: $u_n = 3 \times 2^{n-1}$ Ví dụ 2: Cho CSN có $u_2 = 6$ và $u_5 = 162$. Tìm $u_1$ và $q$. Lời giải: $u_5 = u_2 \times q^3 \Rightarrow 162 = 6 \times q^3 \Rightarrow q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$ $u_1 = \frac{u_2}{q}...
  query: Cách tính đạo hàm của một hàm số đa thức như f(x) = x^3 - 3x^2 + 2?	passage: # Tính đơn điệu của hàm số ## Định nghĩa Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$. Hàm số đồng biến (tăng) trên $(a; b)$: Nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a; b)$ mà $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$. Hàm số nghịch biến (giảm) trên $(a; b)$: Nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a; b)$ mà $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$. ## Điều kiện cần và đủ Định lý: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. - Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì $f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$. - Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $(a; b)$. ## Ví dụ Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Lời giải: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Bảng xét dấu: - $x \in (-\infty; 0)$: $f'(x) > 0$ (hàm đồng biến) - $x \in (0; 2)$: $f'(x) < 0$ (hàm nghịch biến) - $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (hàm đồng biến)	passage: # Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian ## Thiết lập hệ trục Hệ trục tọa độ $Oxyz$ gồm: - Gốc tọa độ: $O$ - Trục $Ox$ (hoành): vectơ đơn vị $\vec{i}$ - Trục $Oy$ (tung): vectơ đơn vị $\vec{j}$ - Trục $Oz$ (cao): vectơ đơn vị $\vec{k}$ Điều kiện: Ba trục vuông góc từng đôi một, $
  query: Trong bài toán thực tế về tăng lương, yếu tố nào đóng vai trò là công sai?	passage: # Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ## Công thức tổng Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Công thức 1: $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$ Công thức 2: $S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$ Công thức 3: $S_n = nu_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$ ## Tính chất của tổng 1. $S_n - S_{n-1} = u_n$ (với $n \geq 2$) 2. Nếu $S_n = an^2 + bn$ thì dãy là CSC với: - $u_1 = a + b$ - $d = 2a$ ## Ví dụ tính toán Ví dụ 1: Tính tổng 15 số hạng đầu của CSC: $3, 7, 11, 15, ...$ Lời giải: - $u_1 = 3$, $d = 4$ - $S_{15} = \frac{15}{2}[2 \times 3 + (15-1) \times 4] = \frac{15}{2}[6 + 56] = 465$ Ví dụ 2: Tìm $n$ biết tổng $n$ số hạng đầu của CSC có $u_1 = 2$, $d = 3$ là $S_n = 77$. Lời giải: $77 = \frac{n}{2}[2 \times 2 + (n-1) \times 3] = \frac{n(4 + 3n - 3)}{2} = \frac{n(3n + 1)}{2}$ $154 = n(3n + 1) = 3n^2 + n$ $3n^2 + n - 154 = 0$ Giải được $n = 7$ (loại nghiệm âm) ## Bài toán thực tế Một công ty kế hoạch tăng lương cho nhân viên theo CSC...	passage: # Công thức tọa độ cơ bản trong không gian ## Độ dài vectơ và khoảng cách Độ dài vectơ: $

• Loss: MultipleNegativesRankingLoss with these parameters:

  {
      "scale": 20.0,
      "similarity_fct": "cos_sim"
  }
  

Training Hyperparameters

Non-Default Hyperparameters

• eval_strategy: steps
• per_device_train_batch_size: 4
• per_device_eval_batch_size: 4
• num_train_epochs: 20
• multi_dataset_batch_sampler: round_robin

All Hyperparameters

Click to expand

• overwrite_output_dir: False
• do_predict: False
• eval_strategy: steps
• prediction_loss_only: True
• per_device_train_batch_size: 4
• per_device_eval_batch_size: 4
• per_gpu_train_batch_size: None
• per_gpu_eval_batch_size: None
• gradient_accumulation_steps: 1
• eval_accumulation_steps: None
• torch_empty_cache_steps: None
• learning_rate: 5e-05
• weight_decay: 0.0
• adam_beta1: 0.9
• adam_beta2: 0.999
• adam_epsilon: 1e-08
• max_grad_norm: 1
• num_train_epochs: 20
• max_steps: -1
• lr_scheduler_type: linear
• lr_scheduler_kwargs: {}
• warmup_ratio: 0.0
• warmup_steps: 0
• log_level: passive
• log_level_replica: warning
• log_on_each_node: True
• logging_nan_inf_filter: True
• save_safetensors: True
• save_on_each_node: False
• save_only_model: False
• restore_callback_states_from_checkpoint: False
• no_cuda: False
• use_cpu: False
• use_mps_device: False
• seed: 42
• data_seed: None
• jit_mode_eval: False
• use_ipex: False
• bf16: False
• fp16: False
• fp16_opt_level: O1
• half_precision_backend: auto
• bf16_full_eval: False
• fp16_full_eval: False
• tf32: None
• local_rank: 0
• ddp_backend: None
• tpu_num_cores: None
• tpu_metrics_debug: False
• debug: []
• dataloader_drop_last: False
• dataloader_num_workers: 0
• dataloader_prefetch_factor: None
• past_index: -1
• disable_tqdm: False
• remove_unused_columns: True
• label_names: None
• load_best_model_at_end: False
• ignore_data_skip: False
• fsdp: []
• fsdp_min_num_params: 0
• fsdp_config: {'min_num_params': 0, 'xla': False, 'xla_fsdp_v2': False, 'xla_fsdp_grad_ckpt': False}
• tp_size: 0
• fsdp_transformer_layer_cls_to_wrap: None
• accelerator_config: {'split_batches': False, 'dispatch_batches': None, 'even_batches': True, 'use_seedable_sampler': True, 'non_blocking': False, 'gradient_accumulation_kwargs': None}
• deepspeed: None
• label_smoothing_factor: 0.0
• optim: adamw_torch
• optim_args: None
• adafactor: False
• group_by_length: False
• length_column_name: length
• ddp_find_unused_parameters: None
• ddp_bucket_cap_mb: None
• ddp_broadcast_buffers: False
• dataloader_pin_memory: True
• dataloader_persistent_workers: False
• skip_memory_metrics: True
• use_legacy_prediction_loop: False
• push_to_hub: False
• resume_from_checkpoint: None
• hub_model_id: None
• hub_strategy: every_save
• hub_private_repo: None
• hub_always_push: False
• gradient_checkpointing: False
• gradient_checkpointing_kwargs: None
• include_inputs_for_metrics: False
• include_for_metrics: []
• eval_do_concat_batches: True
• fp16_backend: auto
• push_to_hub_model_id: None
• push_to_hub_organization: None
• mp_parameters:
• auto_find_batch_size: False
• full_determinism: False
• torchdynamo: None
• ray_scope: last
• ddp_timeout: 1800
• torch_compile: False
• torch_compile_backend: None
• torch_compile_mode: None
• include_tokens_per_second: False
• include_num_input_tokens_seen: False
• neftune_noise_alpha: None
• optim_target_modules: None
• batch_eval_metrics: False
• eval_on_start: False
• use_liger_kernel: False
• eval_use_gather_object: False
• average_tokens_across_devices: False
• prompts: None
• batch_sampler: batch_sampler
• multi_dataset_batch_sampler: round_robin

Training Logs

Epoch	Step	Training Loss	ranking_evaluator_cosine_ap
0.8299	200	-	0.9543
1.0	241	-	0.9699
1.6598	400	-	0.9702
2.0	482	-	0.9744
2.0747	500	0.7119	-
2.4896	600	-	0.9765
3.0	723	-	0.9852
3.3195	800	-	0.9822
4.0	964	-	0.9829
4.1494	1000	0.4462	0.9813
4.9793	1200	-	0.9775
5.0	1205	-	0.9768
5.8091	1400	-	0.9843
6.0	1446	-	0.9869

Framework Versions

• Python: 3.11.11
• Sentence Transformers: 3.4.1
• Transformers: 4.51.3
• PyTorch: 2.6.0+cu124
• Accelerate: 1.5.2
• Datasets: 3.6.0
• Tokenizers: 0.21.1

Citation

BibTeX

Sentence Transformers

@inproceedings{reimers-2019-sentence-bert,
    title = "Sentence-BERT: Sentence Embeddings using Siamese BERT-Networks",
    author = "Reimers, Nils and Gurevych, Iryna",
    booktitle = "Proceedings of the 2019 Conference on Empirical Methods in Natural Language Processing",
    month = "11",
    year = "2019",
    publisher = "Association for Computational Linguistics",
    url = "https://arxiv.org/abs/1908.10084",
}

MultipleNegativesRankingLoss

@misc{henderson2017efficient,
    title={Efficient Natural Language Response Suggestion for Smart Reply},
    author={Matthew Henderson and Rami Al-Rfou and Brian Strope and Yun-hsuan Sung and Laszlo Lukacs and Ruiqi Guo and Sanjiv Kumar and Balint Miklos and Ray Kurzweil},
    year={2017},
    eprint={1705.00652},
    archivePrefix={arXiv},
    primaryClass={cs.CL}
}